邊寬江 王艷榮
（西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院）
摘要：近二十年來(lái)，學(xué)術(shù)界對(duì)高頻金融數(shù)據(jù)波動(dòng)率模型的研究已經(jīng)成為一個(gè)熱門(mén)。特別是最近十幾年，Andersen等學(xué)者提出了用高頻分時(shí)數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)波動(dòng)率的方法，這種方法可以得到比較準(zhǔn)確的波動(dòng)率估計(jì)值，稱為“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)率，其中ARFIMA-RV是一類非常重要的波動(dòng)率預(yù)測(cè)模型。本文在高頻金融數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上建立了賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型，發(fā)現(xiàn)其具有長(zhǎng)記憶性，并通過(guò)建立對(duì)數(shù)賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的分整自回歸移動(dòng)平均模型（lnWRV-ARFIMA）對(duì)賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率進(jìn)行了擬合和預(yù)測(cè)。最后介紹了賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率在風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值度量中的重要應(yīng)用，并基于賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，給出了風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的計(jì)算方法。
關(guān)鍵詞：賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率 長(zhǎng)記憶性 lnWRV-ARFIMA VaR
一、賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率
賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)（weighted realized volatility，WRV）為金融資產(chǎn)日內(nèi)收益平方的加權(quán)之和，即：
WRVt=■wjr2t , j （1）
公式中，rt，j=r*［（t-1）h+hjN-1］-r*［（t-1）h+h（j-1）N-1］
rt=r*（th）-r*［（t-1）h］，t=1，2，…，T；j=1，2，…，N。其中，h>0，為固定的時(shí)間區(qū)間（本文指一天，即h=1）；T為樣本容量；N為在［（t-1）h，th］時(shí)間段內(nèi)等時(shí)間間隔的采樣次數(shù)（h=1，則N為日抽樣頻率）；r*［（t-1）h+hjN-1］金融資產(chǎn)在第［（t-1）h］天的第j個(gè)日內(nèi)對(duì)數(shù)價(jià)格；r*（th）表示第th天的對(duì)數(shù)價(jià)格；rt，j為金融資產(chǎn)在第t天的第j個(gè)時(shí)間間隔的日內(nèi)對(duì)數(shù)價(jià)格收益；rt為金融資產(chǎn)在第t天的日間對(duì)數(shù)價(jià)格收益。N為在［t，t+1］時(shí)間段內(nèi)等時(shí)間間隔的采樣次數(shù)。
其中wj為日內(nèi)收益平方的權(quán)重，wj的確定直接影響到賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的精確性和有效性。無(wú)偏性是一個(gè)估計(jì)量最重要的性質(zhì)之一，要想精確的估計(jì)金融資產(chǎn)價(jià)格收益波動(dòng)，賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率首先應(yīng)該滿足無(wú)偏性。但是，有時(shí)僅僅滿足無(wú)偏性還是不夠的，因?yàn)闊o(wú)偏性只能保證估計(jì)量的期望值等于其真值，而它本身所取的值大部分很可能與真值相差很大。所以為了保證賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的取值能大部分集中在金融價(jià)格收益波動(dòng)的真值附近，我們還需要來(lái)確定一個(gè)最優(yōu)的權(quán)重從而使得賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的方差達(dá)到最小。
經(jīng)分析計(jì)算得出在滿足wj=■■r２t , j /N■r２t , j的條件下，賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)的方差最小，且滿足無(wú)偏性，同時(shí)，從賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的公式中可以看出，當(dāng)wj（n=1，2，…，N）時(shí)，WRVt=RVt。即已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率是賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的一個(gè)特例。
二、長(zhǎng)記憶存在性檢驗(yàn)
如果平穩(wěn)時(shí)間序列{xt}的自相關(guān)函數(shù)ρτ依負(fù)冪指數(shù)率（雙曲率）隨滯后階數(shù)τ的增大而緩慢下降，即ρτ～Cτ2d-1，τ→∞。其中C為常數(shù)，稱{xt}為長(zhǎng)記憶時(shí)間序列，一般，當(dāng)0
其中關(guān)于長(zhǎng)記憶參數(shù)d的估計(jì)，本文采用的是聚合序列絕對(duì)值法，即：設(shè)時(shí)間序列{rt}，t=1，2，…T，將其分成樣本容量為m的［T/m］個(gè)子樣本，對(duì)于固定的m值，可以得到一個(gè)聚合序列：
r（m）k=1/m■rt
其中k=1，2，…，［T/m］，當(dāng)m充分大時(shí)有：
■■|rk（ｍ）|～CmH-1 （2）
其中C為常數(shù)，H<1，為Hurst指數(shù)，取不同的m值，根據(jù)（3）式建立如下回歸方程：
ln（■■|rk（ｍ）|）=C1+（H-1）ln m （3）
其中C1為常數(shù)，依上式可以得到H的估計(jì)值。再由d=H-0.5得到d的估計(jì)值。
三、波動(dòng)率預(yù)測(cè)模型：lnWRV-ARFIMA模型
基于賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的長(zhǎng)記憶性，本文考慮采用ARFIMA模型的擴(kuò)展形式lnWRV-ARFIMA，來(lái)對(duì)賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率進(jìn)行建模。模型形式如下：
?。?-L）dφ（L）（lnWRVt-μ0）=θ（L）εt （4）
其中，L為滯后算子，|d|<0.5，μ0為{lnWRVt}的均值，εt～i.i.d.（0.σε2），φ（L）和θ（L）分別為p階和q階平穩(wěn)的滯后算子多項(xiàng)式。
四、VaR模型
VaR是在一定的置信水平和一定的目標(biāo)期間內(nèi)，某金融工具或投資組合可能出現(xiàn)的最大損失（或最壞情況下的損失）。即對(duì)于選定的置信水平α，VaR可以表示為：
P（Rt
其中Rt為資產(chǎn)或資產(chǎn)組合在持有期內(nèi)的損失，VaR為置信水平α下處于風(fēng)險(xiǎn)中的價(jià)值。
計(jì)算VaR關(guān)鍵就在于確定投資組合未來(lái)?yè)p益的概率密度函數(shù)。假設(shè)各時(shí)點(diǎn)上的收益服從具有時(shí)變方差的條件正態(tài)分布，即：
f（Rt|Ωt-1）～N（μt，ht）
其中Ωt-1表示第t-1時(shí)刻及以前的信息集f（·）表示條件概率密度函數(shù)。則：
（-μt+VaRt）/■=Uα （5）
其中Uα為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布α水平下的單側(cè)分位數(shù)。（5）式可以變換得到：
VaRt=μt+Uα ■ （6）
μt是金融資產(chǎn)投資組合的收益率的均值，反映了收益率的平均水平；ht是金融資產(chǎn)投資組合收益率的方差，表示收益率的波動(dòng)特性，即波動(dòng)率。由此可見(jiàn)，建立正確的波動(dòng)率模型對(duì)于金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值的計(jì)算有非常重要的意義。
五、實(shí)證分析
?。ㄒ唬┙?shù)據(jù)的選取。本文實(shí)證研究采用的高頻數(shù)據(jù)是2010年4月19日至2012年4月18日上證指數(shù)5分鐘間隔時(shí)段的收盤(pán)價(jià)，這期間共有485個(gè)交易日，共有23 280個(gè)數(shù)據(jù)。通過(guò)計(jì)算賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列取對(duì)數(shù)前后的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、偏度、峰度、Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量發(fā)現(xiàn)：賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列的分布是非正態(tài)的，具有嚴(yán)重的偏斜和尖峰厚尾現(xiàn)象，而取對(duì)數(shù)后的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率和賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列反而比較接近正態(tài)分布，見(jiàn)表1，所以本文選擇采用對(duì)數(shù)賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列來(lái)進(jìn)行建模。
下面對(duì)對(duì)數(shù)賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列進(jìn)行平穩(wěn)性和長(zhǎng)記憶性檢驗(yàn)：首先，進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，本文所采用的是單位根檢驗(yàn)，由軟件得到ADF統(tǒng)計(jì)值結(jié)果為-5.191256，小于1%顯著性水平的臨界值-3.443719，則對(duì)數(shù)賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列不存在單位根，所以序列平穩(wěn)。其次，進(jìn)行長(zhǎng)記憶性檢驗(yàn)，利用聚合序列絕對(duì)值法計(jì)算出的d值來(lái)確定其是否存在長(zhǎng)記憶性。將{lnWRVt}序列分成樣本容量為m=2，m=3，m=4，…，m=24，m=25，m=26的子樣本，最后通過(guò)回歸計(jì)算得H=0.8830，則d=H-0.5=0.3830。d=0.3830<0.5，也說(shuō)明了對(duì)數(shù)賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列具有長(zhǎng)記憶性，可以利用ARFIMA模型進(jìn)行建模。
?。ǘ﹍nWRV-ARFIMA（p，d，q）模型的建立。由前面的計(jì)算結(jié)果得d=0.3830，經(jīng)計(jì)算μ0=-0.0619。本文采用AIC準(zhǔn)則方法來(lái)為模型定階，得到最優(yōu)的p，q組合為p=4，q=4。且計(jì)算的滑動(dòng)平均參數(shù)：Φ1=0.6580，Φ2=0.0473，Φ3=0.9078，Φ4=-0.6313；θ1=-0.3110，θ2=-0.0289，θ3=-0.9232，θ4=0.4035。所得模型結(jié)果為lnWRV-ARFIMA（4，0.3830，4），即：
（1-0.6580L-0.0473L2-0.9078L3+0.6313L4）（1-L）0.3830（lnWRVt-0.1959）=（1-0.3110L-0.0289L2-0.9232L3+0.4035L4）εt
?。ㄈ┠Ｐ偷臄M合結(jié)果。圖1為前242個(gè)交易日的對(duì)數(shù)賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的真實(shí)值和擬合值的對(duì)比圖。
（圖略）
下面對(duì)模型擬合的殘差序列進(jìn)行檢驗(yàn)，以檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠裼行?，圖2為殘差序列的自相關(guān)函數(shù)圖：
由自相關(guān)函數(shù)圖的顯示結(jié)果可以得出殘差為白噪聲序列，所以擬合模型是有效的。
?。ㄋ模┠Ｐ皖A(yù)測(cè)結(jié)果。利用lnWRV-ARFIMA（4，0.3830，4）模型預(yù)測(cè)最近5天的對(duì)數(shù)賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，并得出相應(yīng)的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，見(jiàn)表2。
（圖略）
六、基于賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的VaR計(jì)算
VaR的計(jì)算中被廣泛應(yīng)用的模型有ARCH類模型族和SV類模型，而我們知道ARCH類模型族和SV類模型主要是針對(duì)頻率比較低的日數(shù)據(jù)來(lái)對(duì)波動(dòng)率進(jìn)行建模的，不能充分體現(xiàn)日內(nèi)數(shù)據(jù)高頻特征。因此我們將金融高頻數(shù)據(jù)的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率這種新的波動(dòng)度量方法引入到了VaR的計(jì)算中。通過(guò)對(duì)賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率建模我們得到t-1時(shí)刻WRVt的估計(jì)值。用它來(lái)代替（6）式中的ht，μt取日收益的均值（μt的一階矩估計(jì)），這樣便得到時(shí)刻的VaRt。VaRt的計(jì)算式變?yōu)椋?br />
VaRt=μt+Uα■ （7）
一般情況下，日收益率的均值為0，如果我們?nèi)ˇ?0.05的置信水平，那么正態(tài)分布的單側(cè)分位數(shù)為uα=1.65，代入（7）式，就可以得到上海股市的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值表達(dá)式為：
VaRt=1.65■ （8）
從（8）式可以看出，VaRt相當(dāng)于賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)差的線性變換，而本文前面已經(jīng)證實(shí)了金融高頻數(shù)據(jù)的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列{WRVt}具有長(zhǎng)記憶性，則標(biāo)準(zhǔn)差序列同樣也具有長(zhǎng)記憶性，那么標(biāo)準(zhǔn)差序列經(jīng)過(guò)線性變換后得到的序列{VaRt}也具有長(zhǎng)記憶性，即具有波動(dòng)的持續(xù)性，從而可以估計(jì)未來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值，這對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)管理有非常重要的意義。
七、結(jié)論
本文主要在高頻金融數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上建立了對(duì)數(shù)賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率，并對(duì)其一些性質(zhì)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)取對(duì)數(shù)后的賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列仍具有長(zhǎng)記憶性，并基于其長(zhǎng)記憶性的特點(diǎn)建立了對(duì)數(shù)賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)的分整自回歸移動(dòng)平均lnWRV-ARFIMA模型，并通過(guò)了殘差檢驗(yàn)，說(shuō)明模型是有效的，最后提出一種基于賦權(quán)“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)率的VaR計(jì)算方法，由賦權(quán)“已實(shí)現(xiàn)”波動(dòng)率的長(zhǎng)記憶性得到金融波動(dòng)的持續(xù)性，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)管理具有一定的作用。S
