【摘要】隱含波動率是一個(gè)重要的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)。本文用牛頓法對其估計(jì)并討論波動率笑容的成因以及在此情況下的估計(jì)方法。
波動率是對資產(chǎn)收益不確定性的衡量，普遍應(yīng)用于投資組合選擇，資產(chǎn)定價(jià)以及風(fēng)險(xiǎn)管理各個(gè)方面。對波動率的估計(jì)十分重要。波動率的估計(jì)主要分類兩類：一類是歷史估計(jì)法；另一類是隱含波動率法。歷史波動率法包括簡單加權(quán)移動平均法，GARCH等方法。但無論是等權(quán)重的簡單平均還是隨機(jī)波動的GARCH對真實(shí)波動率估計(jì)都沒有隱含波動率有效。
一、隱含波動率估計(jì)
隱含波動率是指在Black-Scholes（BSM）期權(quán)定價(jià)的公式中，在其他參數(shù)已知的情況下，反解出的波動率， BSM公式如下：
其中，C是看漲期權(quán)的價(jià)值，S為基礎(chǔ)資產(chǎn)的現(xiàn)行市價(jià)，K是期權(quán)和約的執(zhí)行價(jià)格， r是以年利率來表示的無風(fēng)險(xiǎn)利率，T為和約的期限， σ為基礎(chǔ)資產(chǎn)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差。筆者使用Newton-Raphson方法，迭代公式：
確定一個(gè)誤差門極限值E，當(dāng)本次迭代的估計(jì)誤差|Yi+1-P|＜E時(shí)，停止迭代。Yi+1是期權(quán)的理論價(jià)值，P是期權(quán)的實(shí)際交易價(jià)值，這樣就能反解出隱含波動率，這個(gè)波動率是面向未來的。
二、隱含波動率笑容成因及估計(jì)
隱含波動率不是一個(gè)常數(shù)。對于同一標(biāo)的資產(chǎn)來說，波動率應(yīng)該一致。但事實(shí)上不同的到期日和敲定價(jià)格會產(chǎn)生不同的隱含波動率，就是所謂波動率笑容。按相同到期日，把執(zhí)行價(jià)格相對于標(biāo)的資產(chǎn)市場價(jià)格的百分比作為自變量（即對執(zhí)行價(jià)格進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化），把相應(yīng)的隱含波動率作為因變量，可以得到一條隱含波動率隨執(zhí)行價(jià)格變化的U型曲線。即當(dāng)期權(quán)處于評價(jià)狀態(tài)附近時(shí)，其所對應(yīng)的隱含波動率處于較低的水平，當(dāng)期權(quán)遠(yuǎn)離平價(jià)狀態(tài)時(shí)，其所對應(yīng)的隱含波動率將不斷增加。會產(chǎn)生這種現(xiàn)象有以下幾種解釋：
（一） 影響要素說認(rèn)為，期權(quán)定價(jià)公式所考慮的要素不全，因此無法得到與實(shí)際相符合的結(jié)果，例如期權(quán)在很深的虧價(jià)中時(shí)，其相應(yīng)的價(jià)格會非常低。做多的勢力大于做空的勢力，這時(shí)真實(shí)價(jià)格要遠(yuǎn)高于平價(jià)期權(quán)理論價(jià)格，從而夸大了隱含波動率。也就是說在深度虧價(jià)或者盈價(jià)期權(quán)中，投機(jī)者的心理是一個(gè)重要因素而未被期權(quán)定價(jià)公式考慮。
?。ǘ┙灰壮杀菊f，把波動率笑容歸因于期權(quán)定價(jià)模型，忽略了交易成本。例如買賣價(jià)差，當(dāng)處于較深的虧價(jià)狀態(tài)時(shí)，相對于較低的市場價(jià)格，價(jià)差就顯得比較大，加上價(jià)差后實(shí)際的市場價(jià)格就明顯高于理論價(jià)格，產(chǎn)生高隱含波動率。
（三）分布說認(rèn)為，股價(jià)不服從對數(shù)正態(tài)分布，而是有很濃的肥尾，即偏態(tài)分布，比如分布的右尾越厚，期權(quán)的價(jià)值將越高于平價(jià)期權(quán)所計(jì)算出的理論價(jià)值。還有可能是一種細(xì)長峰谷分布。無論出現(xiàn)哪種情況，都將動搖BSM模型基礎(chǔ)，即假設(shè)股票的價(jià)格是呈對數(shù)正態(tài)分布，而真實(shí)分布不是正態(tài)時(shí)，那么市場價(jià)格將不同于該模型的理論價(jià)值。
隱含波動率還有期限結(jié)構(gòu)問題，即在同一敲定價(jià)格上。隨著到期日的不同，期權(quán)價(jià)格不同，隱含波動率也不同。但是隨著到期日的增加趨向于長期平均波動率，這就是著名的波動率錐，并且此時(shí)波動率的笑容越來越扁平，也就是說笑容將不存在而逐漸趨向一個(gè)常數(shù)。
綜上所述，BSM模型隱含波動率是一個(gè)長遠(yuǎn)的平均隱含波動率，從遠(yuǎn)期來說沒有任何問題，但在短期波動率的計(jì)算上一定要注意波動率的笑容，對于某一特定標(biāo)的資產(chǎn)應(yīng)采用加權(quán)隱含波動率。有三種加權(quán)法：以交易量，以與平價(jià)期權(quán)的距離和以各自的Vega為權(quán)重加權(quán)。
1．交易量加權(quán)法，對任意一個(gè)期權(quán)品種權(quán)重是該品種期權(quán)交易量與該期權(quán)總交易量的比值。
2．距離加權(quán)法，就是以當(dāng)前標(biāo)的資產(chǎn)的市場價(jià)格S和各期權(quán)品種的敲定價(jià)格 和我們設(shè)置一個(gè)閥值A(chǔ)，得出距離公式 Zi=[（|（S-Xi）/S|-A）/A]2來計(jì)算。
3．Vega加權(quán)法，這里的Vega是指期權(quán)價(jià)格對于標(biāo)的資產(chǎn)的波動性的敏感系數(shù)，公式為
最新方法是構(gòu)造波動率距陣。首先，利用該期權(quán)的市場價(jià)格，對具有不同敲定價(jià)格和不同到期日的期權(quán)品種分別計(jì)算隱含波動率；其次，將敲定價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)化，即用敲定價(jià)格除以標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)時(shí)的市場價(jià)格；最后，將所得到的隱含波動率按到期日和標(biāo)準(zhǔn)化敲定價(jià)格進(jìn)行排序，就形成了波動率距陣。在此基礎(chǔ)上算出波動率笑容指數(shù)距陣，即對給定的到期日，用不同的執(zhí)行價(jià)格所對應(yīng)的隱含波動率除以該到期日平價(jià)期權(quán)所對應(yīng)的隱含波動率，再乘以100，就得到所謂的笑容指數(shù)（VSI）距陣，可以利用它來估計(jì)未來的隱含波動率。首先根據(jù)期權(quán)定價(jià)公式算出當(dāng)前平價(jià)期權(quán)的隱含波動率V，再根據(jù)到期日和敲定價(jià)格在笑容指數(shù)距陣中找出對應(yīng)的VSI，則其波動率就是 V×VSI/100。
三、隱含波動率的研究方向
當(dāng)代波動率的研究方向：
?。ㄒ唬┯眯碌哪Ｐ蛠泶鍮SM模型，在這個(gè)模型中波動率是資產(chǎn)和時(shí)間的函數(shù)。
?。ǘ?shí)際波動率模型，使用高頻數(shù)據(jù)研究日內(nèi)累計(jì)收益平方和并將它作為實(shí)際波動率的無偏估計(jì)，當(dāng)抽樣頻率趨向于無窮時(shí)，實(shí)際波動率是沒有誤差的，就是隱含波動率的真實(shí)值。
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