一、引言
期權(quán)，權(quán)證以及其他金融衍生品定價(jià)理論的出現(xiàn)是現(xiàn)代金融發(fā)展一個(gè)重要的里程碑。基于廣為人知的無套利理論，Black,Scholes和Merton在1973年創(chuàng)立了著名的期權(quán)定價(jià)公式。此公式的創(chuàng)立立即在學(xué)術(shù)界和專業(yè)投資領(lǐng)域得到了廣泛的認(rèn)可，并由此推動(dòng)了現(xiàn)代金融衍生品市場(chǎng)的發(fā)展。
Black-Scholes公式對(duì)金融衍生品定價(jià)的深遠(yuǎn)影響和內(nèi)在的重要性體現(xiàn)在于，它表明在一定的條件下，衍生品的價(jià)格可以通過特定的動(dòng)態(tài)投資策略被精確地制定出來，而這個(gè)投資策略只和標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格和市場(chǎng)無風(fēng)險(xiǎn)利率有關(guān)。這在本質(zhì)上改變了期權(quán)定價(jià)的方式，使得期權(quán)定價(jià)更加精確和嚴(yán)格，因而極大程度地推動(dòng)了現(xiàn)代金融市場(chǎng)的發(fā)展。 利用Black-Scholes模型中所采用的方法，各種各樣的金融衍生品，包括各種金融衍生品的組合，可以被精確地定價(jià)。
雖然衍生品的最后定價(jià)數(shù)值往往是高度計(jì)算機(jī)相關(guān)的，但是本質(zhì)上由于模型建立在無套利條件的基本假設(shè)下，整套定價(jià)理論的實(shí)際應(yīng)用中并沒有留給傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)學(xué)多少可以深入研究的空間。這主要是由于中間沒有“誤差項(xiàng)”可以去最小化，也沒有相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)波動(dòng)值得研究。諸如回歸分析等傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法即使在標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格變化模型的數(shù)據(jù)處理中都很少有用武之地。然而，這并不是說在B-S模型下的金融衍生品定價(jià)理論徹底與統(tǒng)計(jì)無關(guān)。至少在這套理論的實(shí)際應(yīng)用中有兩個(gè)問題確實(shí)需要統(tǒng)計(jì)推斷。第一個(gè)問題是如何估計(jì)連續(xù)時(shí)間下標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化模型中的某些參數(shù)。這點(diǎn)非常重要，因?yàn)闃?biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格模型是之后的衍生品定價(jià)模型的基礎(chǔ)。第二個(gè)問題與如何用Monte Carlo方法來解決“路徑獨(dú)立”的衍生品定價(jià)有關(guān)。
二、Black-Scholes定價(jià)模型
1、基本價(jià)格變化模型
隨著金融衍生品市場(chǎng)的發(fā)展，在很多場(chǎng)合下我們需要考慮連續(xù)情況下的模型，而不再是簡(jiǎn)單的離散時(shí)間模型。例如，Merton推導(dǎo)Black-Scholes公式時(shí)就要求假設(shè)投資組合在任意時(shí)間時(shí)候都是可以快速調(diào)整的，只有這樣才能從理論上構(gòu)造出一個(gè)對(duì)沖的投資組合，從而通過無套利原則準(zhǔn)確計(jì)算出衍生品的價(jià)格。
這是Black-Scholes公式的最重要的思想。然而在離散情況下，滿足上述要求的投資往往是無法夠構(gòu)造的，因此本文中所有關(guān)于金融衍生品模型的討論都將是在連續(xù)時(shí)間下的。
我們用來表示標(biāo)的資產(chǎn)在 時(shí)刻的價(jià)格。我們常假設(shè)滿足以下條件：
a、對(duì)任意的，
b、對(duì)任意的，增量與增量是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。
c.對(duì)每條軌道而言，是連續(xù)的。
滿足這些條件的，就是著名的布朗運(yùn)動(dòng)或者維納過程，該過程通常用來表示。也即（1）
隨機(jī)變量表示描述標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格，有以下幾個(gè)性質(zhì)：
2、Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型
1973年，F(xiàn)isher Black和Myron Scholes推導(dǎo)出基于無紅利支付股票的任何衍生證券的價(jià)格都必須滿足的微分方程，并運(yùn)用該方程推導(dǎo)出歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價(jià)值。在此，我們對(duì)Black-Scholes模型進(jìn)行簡(jiǎn)單闡述，定價(jià)公式的推導(dǎo)過程在很多文獻(xiàn)上都可以查到，所以在此不再詳細(xì)介紹，本文只給出最后的推導(dǎo)結(jié)果，即定價(jià)公式。我們先規(guī)定一些符號(hào)：
S:股票現(xiàn)價(jià)
K:期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格
T:期權(quán)的到期時(shí)間
t:現(xiàn)在的時(shí)刻
ST:在T時(shí)刻股票的價(jià)格
r:在T時(shí)刻到期的投資的無風(fēng)險(xiǎn)利率
c:一份歐式看漲期權(quán)的價(jià)值
p:一份歐式看跌期權(quán)的價(jià)值
在得出Black-Scholes定價(jià)公式之前，我們首先要導(dǎo)出Black-Scholes微分方程，Black-Scholes微分方程用到的基本假設(shè)如下：
1、股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)：
其中，z是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，是股票的期望增長(zhǎng)率，是股票的波動(dòng)率。
2、允許使用全部所得賣空衍生證券。
3、市場(chǎng)上沒有交易費(fèi)用或稅收，所有證券都是高度可分的。
4、在衍生證券的存續(xù)期內(nèi)無紅利發(fā)放。
5、交易市場(chǎng)沒有無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。
6、證券交易是連續(xù)的。
7、無風(fēng)險(xiǎn)利率r為常數(shù)且對(duì)所有到期日都相同。
在這7項(xiàng)假設(shè)的基礎(chǔ)上我們可以推導(dǎo)出Black-Scholes微分方程：
（2）
其中f就是我們所關(guān)心的要確定的期權(quán)價(jià)格。對(duì)應(yīng)于可用標(biāo)的變量S定義的所有衍生證券，方程有很多解。解方程時(shí)得到的特定的衍生證券取決于其使用的邊界條件。對(duì)于歐式看漲期權(quán)，關(guān)鍵的邊界條件為：；歐式看跌期權(quán)則為：。
而該方程的一個(gè)重要性質(zhì)就是該方程不包含任何受投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好影響的變量。故風(fēng)險(xiǎn)偏好不會(huì)對(duì)其解產(chǎn)生影響，在對(duì)f進(jìn)行定價(jià)時(shí)我們可以使用任何一種風(fēng)險(xiǎn)偏好，特別是，可以假設(shè)：所有的投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中性的。風(fēng)險(xiǎn)中性的假設(shè)是求解Black-Scholes微分方程的人為假設(shè)，獲得的方程解對(duì)所有世界都有效。當(dāng)進(jìn)入風(fēng)險(xiǎn)世界時(shí)，一方面，股票價(jià)格的期望收益率改變了；而另一方面，衍生證券的期望收益率也改變了，這兩種效果在構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)證券組合的過程中效果互相抵消。
接下來我們可以得出Black-Scholes定價(jià)公式了。在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，歐式看漲期權(quán)的價(jià)格是期望值的無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的結(jié)果，可得歐式看漲期權(quán)的價(jià)值：
同理，歐式看跌期權(quán)的價(jià)值：
其中，
為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。
三、期權(quán)價(jià)格模型的參數(shù)估計(jì)及模型改進(jìn)
1、價(jià)格模型的參數(shù)估計(jì)
如前面所言，對(duì)金融衍生品的估價(jià)是基于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格模型的，因此對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格模型的研究是至關(guān)重要的。由于金融市場(chǎng)里有許許多多的不同類型的期權(quán)和其他衍生品，因此需要各種不用的價(jià)格模型來描述不同標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格變化走勢(shì)。
首先我們需要考慮的就是帶參數(shù)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格模型的參數(shù)估計(jì)。為闡述參數(shù)估計(jì)需要涉及的問題，我們考慮最簡(jiǎn)單的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化模型：
（3）
B-S期權(quán)公式的推導(dǎo)中用到的標(biāo)的資產(chǎn)對(duì)數(shù)價(jià)格變化模型是上述模型的特殊化。
由通常的假設(shè)是一個(gè)連續(xù)時(shí)間的Markov過程，我們可以利用聯(lián)合密度函數(shù)來估計(jì)參數(shù)。由Markov性我們就可以得到：
作為一個(gè)實(shí)例，我們來對(duì)B-S期權(quán)公式中的價(jià)格變化模型來進(jìn)行分析和說明。假設(shè)滿足各種條件，并且歷史觀察數(shù)據(jù)是有效的，那么我們利用上述方法來估計(jì)。利用Ito引理得到
其中。由B-S公式中的基本假設(shè)，可知連續(xù)的復(fù)合收益率是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，可解得：
（4）
（5）
進(jìn)一步的分析可以知道，由此得到的估計(jì)量是相合的。
至此，一套比較完整的期權(quán)定價(jià)理論已經(jīng)形成。我們首先考慮一個(gè)合適的帶參數(shù)價(jià)格變化模型來描述某個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格變化行為，在滿足一定條件的情況下用歷史數(shù)據(jù)（極大似然估計(jì)方法）來估計(jì)得到合理的參數(shù)估計(jì)值，從而得到一個(gè)有效的價(jià)格變化模型。最后利用無套利思想來求得標(biāo)的資產(chǎn)的衍生品價(jià)格。在整套理論中，合適的價(jià)格變化模型和參數(shù)估計(jì)是值得不斷改進(jìn)和研究的，而相對(duì)而言，最后一部分的無套利思想則是相對(duì)嚴(yán)密和精確的數(shù)學(xué)分析。
2、模型的改進(jìn)
在B-S期權(quán)公式中使用的標(biāo)的資產(chǎn)的對(duì)數(shù)價(jià)格變化模型其實(shí)也就是幾何布朗運(yùn)動(dòng)。這樣的價(jià)格運(yùn)動(dòng)過程表明在不同時(shí)期標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格變化在某種意義下具有“獨(dú)立性”。然后在現(xiàn)實(shí)的金融市場(chǎng)中，這樣的要求過于苛刻，因此需要新的價(jià)格模型的引入來更好的表述標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格變化運(yùn)動(dòng)行為。OU過程(Ornstein-Uhlenbeck process)便是一個(gè)很好的改進(jìn)模型。
OU過程假設(shè)，標(biāo)的資產(chǎn)的對(duì)數(shù)價(jià)格過程滿足以下隨機(jī)微分方程:
其中。OU過程在數(shù)學(xué)上存在顯式解，此外它的某些性質(zhì)可以用來描述現(xiàn)實(shí)中很多標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化行為的特性。OU過程是零均值的平穩(wěn)的子自相關(guān)的高斯過程的和，它具有一定的趨勢(shì)。我們可以將滿足OU過程的隨機(jī)微分方程寫成：
從這個(gè)等式我們可以看出，當(dāng)偏離價(jià)格變化趨勢(shì)時(shí)，價(jià)格會(huì)以一個(gè)和偏離程度有關(guān)的比例被拉回，其中被成為調(diào)整速率。OU過程有顯式解為：
四、實(shí)證分析
本文的最后將利用所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行一次實(shí)證模擬。由于中國暫時(shí)還是沒有期權(quán)市場(chǎng)，而且國外期權(quán)市場(chǎng)的數(shù)據(jù)獲得比較不易，因此本論文對(duì)2010年貴州茅臺(tái)的股價(jià)行為進(jìn)行分析，并以此算出基于貴州茅臺(tái)的歐式期權(quán)定價(jià)。
首先得到2010年貴州茅臺(tái)的股價(jià)原始數(shù)據(jù)，以日為單位，股價(jià)以當(dāng)日收盤價(jià)為準(zhǔn)。一共收集從2010年11月3日開始到2011年8月27日之間的201個(gè)數(shù)據(jù)，在此期間，貴州茅臺(tái)沒有分派過股息或拆分過股權(quán)。我們假設(shè)股價(jià)變化模型為幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型，即：
下面我需要對(duì)參數(shù)，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。
令，，，并利用得到式（4）和式（5）得到
，。
得到參數(shù)估計(jì)值后，利用算得不同到期日，不同執(zhí)行價(jià)格的基于貴州茅臺(tái)的歐式期權(quán)價(jià)格。
