GM（1,1） 殘差檢驗 關(guān)聯(lián)度檢驗
一、引言
對于一個企業(yè)來說，追求利潤最大化是其生存之本，根據(jù)市場需求預(yù)測近期銷售量從而制定生產(chǎn)分配方案是企業(yè)急需考慮的問題，也是生產(chǎn)商面臨的一大難題。因而對產(chǎn)品進行銷售預(yù)測就顯得尤為重要。應(yīng)用GM（1,1）模型進行預(yù)測是較為常見的預(yù)測方法。首先是它把離散數(shù)據(jù)視為連續(xù)變量在其變化過程中所取的離散值，從而可利用微分方程式處理數(shù)據(jù)；不直接用原始數(shù)據(jù)而是由它產(chǎn)生累加生成數(shù)，對生成數(shù)列使用微分方程模型。這樣，可以抵消大部分隨機誤差，顯示出規(guī)律性。本文將以GM（1,1）對代表性機械零件產(chǎn)品——直柄鉆的銷售量數(shù)據(jù)建立有效的GM（1,1）模型并進行短期預(yù)測。
二、實例研究
本文通過研究直柄鉆的08年月銷售量走勢，建立GM（1,1）模型進行產(chǎn)品銷售量的預(yù)測，并作出詳細(xì)的模型檢驗，驗證GM（1,1）模型在產(chǎn)品預(yù)測是否合理，旨在探求機械零件產(chǎn)品歷史銷售量走勢規(guī)律并做出合理預(yù)測。
?。ㄒ唬┲北@銷售量預(yù)測
1、GM（1,1）的建立
我們將建立GM(1,1)模型的步驟描述如下。
第一步：累加生成
對原始數(shù)列中個時刻的數(shù)據(jù)依次累加，從而形成新的序列
設(shè)原始數(shù)列為
即
對做一次累加生成（記作1-AGO),即令，也即
第二步：一次擬合參數(shù)
建立如下GM(1,1)模型即微分方程：
在上式微分方程中，，其中
求出后，解微分方程，可得響應(yīng)函數(shù)為
第三步：確定預(yù)測值
根據(jù)與的關(guān)系可得預(yù)測函數(shù)為：
用到此模型建模，需注意以下問題：
?。?）定義原始序列時，數(shù)據(jù)不一定要全部用來建模，踢出個別波動較大的數(shù)據(jù)，會使預(yù)測誤差更小。
（2）模型的數(shù)據(jù)取舍應(yīng)保證建模序列等時距、相連，不得有跳躍出現(xiàn)。
?。?）建模數(shù)據(jù)序列應(yīng)當(dāng)由最新的數(shù)據(jù)及其相鄰數(shù)據(jù)構(gòu)成。當(dāng)再出現(xiàn)新數(shù)據(jù)時，可采用兩種方法處理：一是將新數(shù)據(jù)加入原始序列中，重估參數(shù)；二是去掉原始序列中最老的一個數(shù)據(jù)，再加上最新的數(shù)據(jù)，所形成的序列和原序列維數(shù)相等，再重估參數(shù)。
2、預(yù)測模型的求解
表1：2008年直柄鉆每月銷售量統(tǒng)計表 單位：百萬個
利用GM（1,1）模型對未來直柄鉆作短期預(yù)測，具體預(yù)測如下表：
表2： 直柄鉆預(yù)測銷售量結(jié)果 單位：百萬個
表3：2009年直柄鉆的實際銷量為 單位：百萬個
從短期預(yù)測結(jié)果來看，直柄鉆未來12個月的銷售量基本趨于3.4百萬，呈緩慢增長趨勢，預(yù)計在2010還會繼續(xù)增長。這也說明國家宏觀調(diào)控的結(jié)果，在平穩(wěn)中發(fā)展。在某種程度上說，這反應(yīng)了我國工業(yè)很有發(fā)展的前途。
?。ǘ〨M(1,1)模型檢驗
1、殘差檢驗
根據(jù)預(yù)測模型，我們得到08年每月銷售量：｛3.618 4.053 4.118 4.183 4.250 4.318 4.386 4.456 4.527 4.599 4.672 4.747｝
計算絕對殘差序列：
=｛0.004 0.200 0.231 0.235 0.257 0.346 0.2840 0.087 0.092 0.250 0.188 0.102｝
計算相對殘差序列：
=｛0.1% 4.9% 5.6% 5.6% 6.0% 8.0% 6.4% 1.9% 2.0% 5.4% 4.0% 2.1%｝
相對誤差不超過8.0%，模型精度較高。
2、進行關(guān)聯(lián)度檢驗
?。?）計算序列絕對殘差序列,max{}=0.346,min{ }=0.004
?。?）計算關(guān)聯(lián)系數(shù)
(k=1,…,12,P=0.5)
求得：= ｛1.00 0.47 0.44 0.44 0.42 0.34 0.39 0.68 0.68 0.42 0.49 0.65｝
?。?）計算關(guān)聯(lián)度，
是滿足P=0.5時的檢驗準(zhǔn)則>0.5的。
三、結(jié)論
通過對機械零件直柄鉆實例研究，可以得知：機械零件銷售在短期預(yù)測中呈現(xiàn)緩慢增長的趨勢，說明在國家宏觀調(diào)控下，工業(yè)生產(chǎn)正在快速發(fā)展。但由于市場存在的各種偶然因素的影響，個別數(shù)據(jù)波動較大，我們采用“新舊替代法”，即把預(yù)測值補充到已知序列中，同時去掉一個最老的數(shù)據(jù)，這樣建立等維灰度預(yù)測模型。從預(yù)測誤差來看，對所研究的直柄鉆建立GM（1,1）模型可以比較準(zhǔn)確的預(yù)測產(chǎn)品銷售量。
