【摘要】資金時間價值是《技術(shù)經(jīng)濟學》課程中最基本的概念，資金時間價值的計算公式較多，教學難度較大。PFA三角關(guān)系圖是筆者在長期的教學工作中，針對資金時間價值計算探索總結(jié)出的一套教學方法。只要真正理解資金時間價值的內(nèi)涵，掌握PFA三角關(guān)系圖，借助于現(xiàn)金流量圖這一計算工具，就能比較好地掌握資金時間價值的計算方法，為各種經(jīng)濟評價指標及評價方法的學習打下堅實的基礎(chǔ)。
【關(guān)鍵詞】技術(shù)經(jīng)濟學 資金時間價值 PFA三角關(guān)系圖 現(xiàn)金流量圖
《技術(shù)經(jīng)濟學》課程是管理類、工科類專業(yè)開設(shè)的一門重要課程，主要內(nèi)容有經(jīng)濟評價指標、經(jīng)濟評價方法、項目的財務(wù)評價、項目的國民經(jīng)濟評價、項目可行性研究、設(shè)備的技術(shù)經(jīng)濟分析等?！都夹g(shù)經(jīng)濟學》課程特點突出表現(xiàn)為：公式眾多、方法靈活、綜合性強、涉及面廣、應(yīng)用性強等。該課程開設(shè)的目的在于通過系統(tǒng)地學習技術(shù)經(jīng)濟學的基本概念、基本理論和方法，掌握并能夠運用技術(shù)經(jīng)濟知識研究和分析各種技術(shù)經(jīng)濟問題，準確地進行項目評價，正確地做出投資決策。要達到這一教學目的，就要求教師教學時必須讓學生掌握該課程最基本的資金時間價值這部分知識，能夠靈活地運用資金時間價值計算公式，從而為后續(xù)技術(shù)經(jīng)濟評價指標、方法及綜合評價的學習打下堅實的基礎(chǔ)。筆者在長期的教學工作中針對資金的時間價值這一部分內(nèi)容做了深入的研究，探索出了一套基于PFA三角關(guān)系圖的資金時間價值教學法，以供廣大同行交流參考。
一、資金時間價值的含義及其計算公式
1. 資金時間價值的含義。在財務(wù)管理上，資金時間價值是指貨幣經(jīng)歷一定時間的投資和再投資所增加的價值，也稱為貨幣的時間價值。而在技術(shù)經(jīng)濟學中，為了運用現(xiàn)金流量圖這一分析工具，我們認為，資金時間價值是指不同時間發(fā)生的等額資金在價值上的差別。
根據(jù)經(jīng)濟學理論的觀點：資金只有當作資本投入生產(chǎn)和流通之后才會產(chǎn)生增值。首先，從投資者的角度來看，資產(chǎn)的增值特性使資金具有了時間價值。其次，從消費者的角度來看，資金時間價值體現(xiàn)為對消費者放棄現(xiàn)期消費而應(yīng)給予的必要補償。
比如某投資人今天把100萬元進行投資或存入銀行，在年利率為10%的情況下，一年以后該投資人就擁有110萬元（100+100×10%），這說明今天的100萬元和1年以后的110萬元等值，這多出來的10萬元就是這100萬元在一年內(nèi)發(fā)生的增值，也就是這100萬元資金的時間價值。
2. 資金時間價值的計算公式。資金時間價值的計算有單利和復(fù)利兩種計算方法，因為單利的計算比較簡單，所以此處只討論復(fù)利法。在技術(shù)經(jīng)濟學中，整個資金時間價值的計算會涉及五個常見符號：F（終值）、P（現(xiàn)值）、A（年金）、i（利率）、n（期數(shù)）。不論是一次支付系列還是等額分付系列，各資金價值符號之間的關(guān)系都是通過求終值、求現(xiàn)值或求年金的公式來體現(xiàn)（如下表所示）。
二、PFA三角關(guān)系圖及其運用
1. PFA三角關(guān)系圖。根據(jù)上表可以看出，六個公式實際上兩兩互為倒數(shù)，即（P/F，i，n）·（F/P，i，n）=1；（P/A，i，n）·（A/P，i，n）=1；（A/F，i，n）·（F/A，i，n）=1。因此，可以將上表用更加簡單化、形象化的PFA三角關(guān)系圖來描述。
在資金時間價值的計算公式表中，每個計算公式都可以通過代數(shù)式形式和（求解/已知，i，n）兩種形式來描述，從第一個公式到第六個公式，資金時間價值的系數(shù)代數(shù)式越來越復(fù)雜，需要說明的是，不管是財務(wù)管理教材還是技術(shù)經(jīng)濟學教材，都會把復(fù)利系數(shù)表完整詳細地列出，所以，在計算時只需要查表即可得出具體值，省去了每個公式計算的繁雜過程。因此，學生在學習這部分知識點過程中，只需要掌握資金時間價值計算公式的形式（求解/已知，i，n）即可。也就是說，學生只要能夠通過題意，弄明白P、F和A三者中已知和求解的各是哪一個，再直接運用（求解/已知，i，n）形式查表得出公式值，不需要通過死記硬背繁雜的代數(shù)式再通過手工或計算器自行計算。這樣，學生學習資金時間價值計算公式的難度大大地降低，同時計算結(jié)果的準確性也大大地提高。
2. PFA三角關(guān)系圖的運用要點。PFA三角關(guān)系圖（圖1）簡單明了地反映出了資金時間價值的六個計算公式之間的關(guān)系，在運用PFA三角關(guān)系圖分析實際問題時，還應(yīng)注意以下要點：
（1）把現(xiàn)金流量圖作為輔助分析工具?，F(xiàn)金流量圖是描述現(xiàn)金流量作為時間函數(shù)的圖形，即把經(jīng)濟系統(tǒng)的現(xiàn)金流量繪入時間坐標圖中，表示出各現(xiàn)金流入、現(xiàn)金流出與相應(yīng)時間的對應(yīng)關(guān)系（見圖2）。它能顯示資金在不同時間點流入與流出的情況，是資金時間價值計算的有效工具。運用現(xiàn)金流量圖，就可以全面、形象、直觀地表達經(jīng)濟系統(tǒng)的資金運動狀態(tài)。
在圖2中，橫軸代表的是項目的時間周期為n，并且進行n等分；縱軸代表的是資金，向上的箭頭表示現(xiàn)金流入，向下的箭頭表示現(xiàn)金流出，箭頭的長短表示資金額的大小，而且假設(shè)所有的資金都必須發(fā)生在某個時間點上。
（2）P、F和A資金發(fā)生的時間是相對的。在圖1中標注了每個資金P、F、A發(fā)生的時間，即P在0點，F(xiàn)在n點，A在從1開始到n結(jié)束的n個點上。需要明確的是，實際的資金不一定就發(fā)生在這些點上。
例1：某人從2008年參加工作開始，每年年末向銀行存入1萬元，假設(shè)銀行存款利率為5%，則2013年底他能得到多少本利和呢？在對實際問題進行分析時，已知條件是每年末存入的1萬元就是年金A，求解的是終值F，其中，A發(fā)生的時間是從2008年開始到2013年為止。
因此，在運用PFA三角關(guān)系圖時必須明確：PFA三者資金發(fā)生的時間是相對的，而不是絕對的。
（3）六個公式中n的含義是統(tǒng)一的。首先，觀察一次支付系列的P、F關(guān)系的兩個公式，根據(jù)第一個要點，我們知道資金P、F的時間不是絕對的，假如P在n1點，F(xiàn)在n2點上時，則公式里面的n該如何確定呢？因為P在0點，F(xiàn)在n點，所以公式里面的n等于n-0，即：n=n-0。所以，當P在n1點，F(xiàn)在n2點上時，則公式里面的n就應(yīng)該等于n2-n1,即：n= n2 -n1，也就是說，一次支付系列P、F關(guān)系的兩個公式里的n的含義為P、F所在的兩個時間點的差。
其次，觀察等額分付系列的P與A、F與A關(guān)系的四個公式，因為A在從1開始到n結(jié)束的n個點上，所以我們很容易發(fā)現(xiàn)，公式里面的n實際上就是A的個數(shù)，有幾個A，n就是幾。比如剛才的例子中，從2008年開始到2013年為止每年年末存入銀行的1萬元年金A，總共存了六年，在運用公式時，時間n就是6。
在A的時間是具體數(shù)值的情況下，我們可以通過分析A的個數(shù)得出時間n，但是，如果A從時間點j開始到k結(jié)束時，那么公式里面的n該如何確定呢？
對于這個問題，我們要從P、F和A三者的相對位置入手來進行分析。根據(jù)第一個要點。我們知道P、F和A三者發(fā)生的時間是相對的，仔細觀察不難發(fā)現(xiàn)，P發(fā)生在第一個A的前一個時間點上，F(xiàn)發(fā)生在最后一個A所在的時間點上。當A從時間點j開始到k結(jié)束時，A所對應(yīng)的P在（j-1）點上，A所對應(yīng)的F在k點上，所以等額分付系列的P與A、F與A關(guān)系的四個公式中的n就等于k-（j-1），即n= k-（j-1）。用例1驗證如下：n=2013-（2008-1）=6。經(jīng)驗證，結(jié)果為6，正好就是A的個數(shù)。也就是說，等額分付系列的P與A、F與A關(guān)系的四個公式中的n的含義為A所對應(yīng)的P和F兩個時間點的差。
綜上所述，六個公式中n的含義可以統(tǒng)一為P和F兩個時間點的差。一次支付系列公式中直接用P、F所在的兩個時間點相減即可，等額分付系列公式中需要先把A所對應(yīng)的P和F兩個時間點找到再相減即可。
三、PFA三角關(guān)系圖運用示例
例2：某工程1年建成，第二年初開始生產(chǎn)，每年末開始有收益，每年凈收益為5萬元，收益期為5年，若投資收益率為10%時，恰好能夠在壽命期內(nèi)把期初投資全部收回，問該工程期初投入的資金是多少？
解：根據(jù)題意，畫出現(xiàn)金流量圖：
根據(jù)現(xiàn)金流量圖可知，年收益5萬元，從第2個點開始到第6個點結(jié)束，其所對應(yīng)的P和F分別在點1和點6上，因此，在利用等額分付系列公式時，時間為：6-1=5。
根據(jù)PFA三角關(guān)系圖可知，所要求解的期初投資資金P0與年收益5萬元（視為A），并不是直接的已知A求P的關(guān)系，因此，需要借助于A（年收益5萬元）所對應(yīng)的P或F來進行分析。分析過程如圖4所示：
根據(jù)圖4，期初投資資金P0可用兩種簡單的方法求解：
1. 借助于A（年收益5萬元）所對應(yīng)的P。根據(jù)PFA三角關(guān)系圖可知，A（年收益5萬元）所對應(yīng)的P在1點上，因此，先把A通過（P/A，10%，5）折算到1點，再通過（P/F，10%，1）折算到0點，即：P0=5（P/A，10%，5）（P/F，10%，1）。查表可得：P0=5×3.790 8×0.909 1=17.231（萬元） 。
2. 借助于A（年收益5萬元）所對應(yīng)的F。根據(jù)PFA三角關(guān)系圖可知，A（年收益5萬元）所對應(yīng)的F在6點上，因此，先把A通過（F/A，10%，5）折算到6點，再通過（P/F，10%，6）折算到0點，即：P0=5（F/A，10%，5）（P/F，10%，6）。查表可得：P0=5×6.105×0.564 5=17.231（萬元）。
以上兩種分析思路是分析類似問題的常用思路。
當然，對于這個例子，還可以把年收益5萬元不作為A，而作為5個一次資金，通過（P/F，10%，n）（n=2，3，4，5，6）折算到0點再相加，即：P0=5［（P/F，10%，2）+（P/F，10%，3）+（P/F，10%，4）+（P/F，10%，5）+（P/F，10%，6）］。很顯然，這種思路需要查表的次數(shù)更多，計算量更大，建議不使用。
四、小結(jié)
資金時間價值是《技術(shù)經(jīng)濟學》課程中最基本的概念，資金時間價值的計算公式較多，只有在真正理解資金時間價值的內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，在分析過程中結(jié)合現(xiàn)金流量圖，采用PFA三角關(guān)系圖進行資金時間價值的教學，就能達到事半功倍的教學效果，為學生學習各種經(jīng)濟評價指標及評價方法，打下堅實的基礎(chǔ)。
主要參考文獻
1. 吳添祖.技術(shù)經(jīng)濟學概論.北京：高等教育出版社，2010
2. 葉青.資金時間價值“一拋二問三題”教學法.財會月刊，2011；24
【作 者】
燕永貞
【作者單位】
（鄭州航空工業(yè)管理學院工商管理學院 鄭州 450015）
